Las inecuaciones son una herramienta fundamental del álgebra que nos permiten comparar expresiones matemáticas.
A diferencia de las ecuaciones, en las inecuaciones no buscamos una igualdad exacta, sino un rango de valores que hacen verdadera una desigualdad.
Por ejemplo, mientras una ecuación puede tener una o más soluciones específicas, una inecuación generalmente tiene un conjunto infinito de soluciones que se representan en una recta numérica o en intervalos.
Símbolos de desigualdad
Los principales símbolos de desigualdad son:
- a<b: menor que
- a>b: mayor que
- a≤b: menor o igual que
- a≥b: mayor o igual que
Ejemplo básico
Consideremos la inecuación:
2x+3<7
Para resolverla, seguimos pasos similares a los de una ecuación:
- Restamos 3 en ambos lados:
2x<4 - Dividimos entre 2:
x<2
La solución es todo valor de x menor que 2.
En forma de intervalo se escribe:
(−∞,2)
Regla importante
Si multiplicamos o dividimos una inecuación por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.
Por ejemplo:
−3x>9⇒x<−3 (aquí multiplicamos por – ⅓ a ambos lados)
Inecuaciones compuestas
Una inecuación compuesta combina dos o más desigualdades.
Por ejemplo:
1<2x+3≤7
Resolviendo paso a paso:
1−3 < 2x ≤ 7−3 ⇒−2 < 2x ≤4
Dividimos entre 2:
−1 < x ≤ 2
La solución es el intervalo abierto en −1 y cerrado en 2.
(−1,2]
Representación gráfica
Las inecuaciones pueden representarse en la recta numérica:
- Un círculo abierto indica que el valor no se incluye (por ejemplo, x<2).
- Un círculo cerrado indica que el valor sí se incluye (por ejemplo, x≤2x).
Conclusión
Las inecuaciones permiten describir rangos de valores posibles en múltiples contextos: desde la economía y la física, hasta la programación y la estadística.
Comprender cómo se manipulan y representan gráficamente es esencial para dominar el lenguaje matemático.